北美Jane Street QR面经, 都是硬核干货

第一题：Probability and Expected Value

Question: You have a drawer with an infinite number of two colors of socks, say black and white, which exist in equal probability. What is the expected number of attempts at taking out socks individually from the drawer before a matching pair is found?

解析：这道题是经典的脑筋急转弯式概率题，要求在没有纸笔的情况下快速心算出结果。核心在于理解期望值的计算方式和鸽巢原理的应用。

首先，最少需要抽两只，最多需要抽三只。根据鸽巢原理，抽出三只袜子，必然会有一对颜色相同。

我们来分析抽到一对袜子的过程：第一次抽，颜色无所谓。第二次抽，有1/2的概率抽到和第一只颜色相同的袜子，此时游戏结束，抽了2次。有1/2的概率抽到和第一只颜色不同的袜子，此时需要进行第三次抽。第三次抽，无论抽出什么颜色，都必然会和前两只中的一只配对成功，此时游戏结束，抽了3次。

所以，抽出2只就配对成功的概率是1/2，抽出3只才配对成功的概率是1/2。

期望值 (Expected Value) 的计算公式是 E(X) = Σ [x * P(x)]，即每个可能的结果乘以其发生的概率，然后求和。

E(抽的次数) = (2次 * P(2次成功)) + (3次 * P(3次成功)) E(抽的次数) = (2 * 1/2) + (3 * 1/2) = 1 + 1.5 = 2.5

所以，期望需要抽取2.5次才能找到一对匹配的袜子。面试官在这里会关注你是否能清晰地分解问题，并准确运用期望值公式，而不是直接猜一个数字。

第二题：Combinatorics and Approximation

Question: There is a raffle with 80 total tickets. Three tickets win a prize. I buy 5 tickets. What is the approximate probability that I win exactly one prize?

解析：这道题考察的是组合数学和在压力下的近似估算能力。精确计算会非常耗时，面试官期待的是一个快速且合理的估算方法。

精确计算思路：总的买法是从80张票里选5张，即 C(80, 5) 种。恰好中一张奖的买法是：从3张中奖票里选1张，再从77张未中奖票里选4张。即 C(3, 1) * C(77, 4)。所以精确概率 P = [C(3, 1) * C(77, 4)] / C(80, 5)。在面试时心算这个几乎不可能。

近似计算思路：把每次抽奖看作独立的伯努利试验。我总共买了5张票，可以看作进行了5次尝试。

每张票的中奖概率是 3/80。每张票不中奖的概率是 77/80。

我中且只中一张奖，意味着有5种可能（第一张中，或第二张中……），每种可能都是“一张中奖，四张不中奖”。

所以，概率大约是： 5 * (3/80) * (77/80)^4

接下来就是估算了： 3/80 ≈ 1/27 77/80 ≈ 1 所以概率大约是 5 * (3/80) ≈ 15/80 ≈ 3/16，也就是略低于20%。

更精确一点的估算： P(中一张) ≈ C(5, 1) * (3/80) * (77/80)^4 ≈ 5 * (0.0375) * (0.9625)^4 ≈ 0.1875 * (0.85) ≈ 0.16

所以，大约是16%到17%左右。面试官想看到的是你如何简化问题，并找到一个逻辑上说得通的估算路径，而不是追求计算器般的准确。

第三题：Strategy and Decision Making

Question: Consider a deck with 26 black and 26 red cards. You draw one card at a time. At any point, you can decide to guess the color of the next card. If you guess correctly, you win $1 and the game ends. If you guess incorrectly, you lose $1 and the game ends. You can also choose not to guess and simply observe the card. What is your optimal strategy to play this game and what is the expected earnings?

解析：这道题考察的是动态规划思想和对信息价值的理解。关键在于认识到你观察到的每张牌都在为你提供关于牌堆剩余成分的宝贵信息。

一个简单的基准策略是：第一张就猜。此时红黑牌各26张，猜对的概率是1/2，猜错的概率是1/2。期望收益是 (1 * 1/2) + (-1 * 1/2) = $0。这显然不是最优策略，因为我们放弃了收集信息的权利。

最优策略的核心是：等到牌堆中某种颜色的牌数量显著多于另一种时再进行猜测。这样可以最大化你猜对的概率。

设牌堆中剩余r张红牌和b张黑牌。此时，如果你猜下一张是红牌，猜对的概率是 r/(r+b)。猜下一张是黑牌，猜对的概率是 b/(r+b)。你应该猜数量较多的那种颜色。

你的决策应该是：如果 max(r, b) / (r+b) 这个概率带来的期望收益大于继续等待的期望收益，就应该下注。

让我们定义 V(r, b) 为当牌堆中有r张红牌和b张黑牌时，继续游戏所能获得的期望收益。你的决策是在“立即下注”和“再看一张”之间选择：

立即下注的期望收益 E_bet = max(r, b) / (r+b) * $1 + min(r, b) / (r+b) * (-$1) = (|r-b|)/(r+b)

再看一张的期望收益 E_wait = (r/(r+b)) * V(r-1, b) + (b/(r+b)) * V(r, b-1)

你的策略是：在每个状态(r, b)下，计算 E_bet 和 E_wait，选择较大的那个。即 V(r, b) = max(E_bet, E_wait)。

这是一个典型的动态规划问题。边界条件是当r=0或b=0时，你肯定能猜对，收益为$1。

在面试中，不需要完整解出这个DP方程，但需要清晰地阐述这个策略思想：即通过观察来增加信息优势，直到某个时刻，立即下注的数学期望超过了继续观察所带来的未来期望收益。面试官会追问你何时是最佳的下注时机，这通常发生在红黑牌数量差异最大的时候。

第四题：Trading Game - Figgie

Jane Street的面试中经常会出现一个名为Figgie的模拟交易游戏。这个游戏旨在模拟一个公开喊价的商品交易市场，考察候选人的市场直觉、风险管理和快速决策能力。

游戏规则概述：这是一个多人卡牌游戏。有一副特殊的牌，包含几种不同的花色（比如A, B, C, D），每种花色的牌数不同。游戏开始时，每个玩家会发到几张手牌，但你看不到自己的牌。你只能看到其他所有玩家的手牌总和。

游戏分为几轮交易。在每一轮中，玩家可以公开出价（bid）和要价（Offer）来买卖不同花色的牌。例如，你可以喊“花色A，我出3块买，8块卖”。其他玩家可以选择接受你的报价进行交易。

游戏结束时，会随机宣布一个花色为“稀有花色”，持有该花色牌的玩家会获得高额奖励（比如每张10块）。

核心考察点：

Market Making（做市能力）：你是否能根据你看到的信息，为不同的花色设定一个合理的买卖价差（bid-ask spread）？一个好的做市商能通过不断买卖赚取差价，同时控制自己的风险敞口。
Information Inference（信息推断）：你虽然不知道自己的手牌，但可以通过观察市场上的交易行为、其他人的出价和要价，来推断出当前哪种花色可能更稀缺，哪种花色大家都不看好。比如，如果很多人都在高价收购花色B，那么花色B是稀有花色的概率可能就更高。
Risk Management（风险管理）：你不能把所有赌注都压在一个花色上。你需要通过交易来分散你的持仓，或者在你认为某个花色价格过高时，果断卖出锁定利润。面试官会观察你如何管理自己的仓位和资金。
Quick Decision Making（快速决策）：市场瞬息万变，你需要在几分钟内做出大量的交易决策。犹豫不决或者反应迟钝是交易的大忌。

制胜策略的关键在于，你不是在赌哪个花色会是最终的稀有花色，而是在利用信息不对称进行交易。你的目标是通过做市和策略性交易，在游戏结束前积累利润，而不是单纯地囤积某一种牌。例如，你可以通过低买高卖，为市场提供流动性，赚取稳定的差价，这比单纯赌博的期望收益要高得多。

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